Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AE=4，求CD．

Answer 1

分析 （1）结论：BC与⊙O相切，连接OD只要证明OD∥AC即可．
（2）欲证明△ABD∽△DBE，只要证明∠BDE=∠DAB即可．
（3）在Rt△ODB中，由cosB=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，设BD=2$\sqrt{2}$k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BO}{AO}$列出方程即可解决问题．

解答 （1）结论：BC与⊙O相切．
证明：如图连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．

（2）∵BC是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴∠BDE+∠ODE=90°，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△DBE．

（3）在Rt△ODB中，∵cosB=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，设BD=2$\sqrt{2}$k，OB=3k，
∵OD²+BD²=OB²，
∴4+8k²=9k²，
∴k=2，
∴BO=6，BD=4$\sqrt{2}$，
∵DO∥AC，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{4\sqrt{2}}{CD}$=$\frac{6}{2}$，
∴CD=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．