Question

如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．
（1）请你用直尺和圆规作出该半圆；（要求保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）说明你所画的半圆与AB、BC都相切的理由；
（3）若AC=4，BC=3，求半圆的半径．

Answer 1

分析：（1）先作∠B的角平分线与AC的交点为O，以O为圆心，OC为半径画半圆即可；
（2）由）∠ACB=90°得到OC⊥CB且OC=r，BC与半圆O相切，再过点O作OD垂直于AB交AB于点D，因为OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，所以OD=OC=r且OD⊥AB，从而证得AB与半圆O相切；
（3）先设半圆的半径为r，已知半圆O与AB相切于点D，得到OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，再在△ADO和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，证得△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质：两个三角形相似对应边的比相等直接求解．

解答：解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；

（2）∵∠ACB=90°
∴OC⊥CB且OC=r，
∴BC与半圆O相切
过点O作OD垂直于AB交AB于点D
∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OD=OC=r且OD⊥AB
∴AB与半圆O相切

（3）设半圆的半径为r，
∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+CB2

=

42+32

=5
在△ADO和△ACB中
∠ADO=∠ACB∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴

AO

AB

=

OD

BC

4-r

5

=

r

3

∴r=

3

2

．
答：半圆的半径为

3

2

点评：本题考查了切线的判断与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，比较复杂，一定要细心去做．