Question

已知：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC．

（1）如图甲，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△的位置．
①设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△的过程中边PA所扫过区域 （图甲中阴影部分）的面积；
②若PA＝3，PB＝6，∠APB＝135°，求PC的长．
（2）如图乙，若PA²＋PC²＝2PB²，请说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

（1）①②6；（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

试题分析：（1）①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；
②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

②连接PP′

根据旋转的性质可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共线，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．

同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．
点评：本题知识点多，综合性强，是中考常见题，需要学生熟练掌握平面图形的基本概念，难度较大.