Question

如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，

BF

AF

=

m

n

（m，n＞0），D是CF中点，联结AD并延长交BC于E．
（1）求

BE

EC

的值；
（2）若BE=2EC，求证：CF⊥AB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点F作FG∥BC交AE于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根据中点定义可得CD=DF，然后利用“角角边”证明△DCE和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=GF，然后求出

AF

AB

，再求出△AFG和△ABE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到

FG

BE

，从而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m=n，从而得到点F是AB的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答．

解答：（1）解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中点，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，

∠DFG=∠DCE  DF=CD  ∠GDF=∠EDC

，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC=GF，
∵

BF

AF

=

m

n

，
∴

AF

AB

=

n

m+n

，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴

AF

AB

=

FG

BE

=

n

m+n

，
∴

BE

EC

=

m+n

n

；

（2）证明：若BE=2EC，则BE：EC=2，
由（1）知，

m+n

n

=2，
解得：m=n，
∴点F是AB的中点，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．