Question

△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，E为△ABC外一点，连接DE、AE和BE，AD=DE，BE∥AC．
（1）如图1，求证：∠BED=∠DAB．
（2）如图2，当D为BC中点时，作DF⊥AC于F，连接BF交DE于点H，作AK⊥BF分别交BF、DF于点G、K，AF=4DK，试探究线段DH和AE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥EB于N，根据AB=AC，得出∠1=∠C，再根据AC∥BE，得出∠2=∠C，从而得出∠2=∠1，即DM=DN，在Rt△ADM和Rt△EDN中，根据HL得出△ADM≌△EDN，即可得出∠BED=∠DAB；
（2）根据AB=AC，BD=DC，得出AD⊥BC，根据AA得出△ADK∽△BCF，从而得出tan∠ACB=

DF

CF

=

AD

DC

=

AD

1 2 BC

，即可得出K为DF中点，延长ED交AC延长线于P，作DO∥FC交BF于O，设DK=a，得出AF、DF、AD的值，再根据∠FDC=∠DAF，得出FC=a，再根据AAS得出△EBD≌△PCD，从而得出DE=AD=DP，再根据DF⊥AC，得出AF=FP，AD=DP，AE=2DF，CP的值，最后根据DO∥FC，得出

PF

DO

=

HP

DH

=

DH+2 5 a

DH

，求出DH的值即可．

解答：解：（1）过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥EB于N，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵AC∥BE，
∴∠2=∠C，
∴∠2=∠1，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△EDN中，

AD=DE MD=DN

，
∴△ADM≌△EDN，
∴∠BED=∠DAB；

（2）DH=

5

14

AE；
证明：
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∵∠AGB=∠ADB=90°，∠3=∠4，
∴∠KAD=∠FBC，
∵∠ACB+∠FDC=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠ADF，
∴△ADK∽△BCF，
∴

DK

CF

=

AD

BC

，
∵tan∠ACB=

DF

CF

=

AD

DC

=

AD

1 2 BC

，
∴DK=

1

2

DF，
∴K为DF中点，
延长ED交AC延长线于P，作DO∥FC交BF于O，设DK=a，
∴AF=4a，DF=2a，AD=2

5

a，
∵∠FDC=∠DAF，
∴

FC

DF

=

DF

AF

，
∴FC=a，
∵DO∥FC，
∴DQ=

1

2

CF=

1

2

a，
∵

BD=DC ∠BED=∠P ∠EDB=∠CDP

，
∴△EBD≌△PCD，
∴DE=AD=DP，
∵DF⊥AC，
∴AF=FP=4a，AD=DP=2

5

a，AE=2DF=4a，CP=3a，
∵DO∥FC，
∴

PF

DO

=

HP

DH

=

DH+2 5 a

DH

，
∴DH=

2 5

7

a，
∴DH=

5

14

AE．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是全等三角形和相似三角形的判定与性质、平行线的性质、特殊角的三角函数值等，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形，运用数形结合思想解答．