Question

如图，已知A（0，4）、B（2，0），将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△A′OB′．
（1）写出点A′、B′的坐标；
（2）求经过A′、B′、B三点的抛物线的解析式；
（3）此抛物线的顶点M是否在直线AA′上？为什么？

Answer 1

解：（1）A′（-4，0），B′（0，2）．

（2）设经过A'、B的抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），由于抛物线过B′（0，2），
可得：2=a×4×（-2），
因此a=-．
∴二次函数的解析式为：y=-（x+4）（x-2）=-x²-x+2

（3）顶点M不在直线AA′上，理由如下：
由（2）可知，抛物线的顶点为M（-1，）．
直线AA'对应的一次函数解析式为y=x+4，
而-1+4≠，故顶点M不在直线AA′上．
分析：（1）根据旋转的角度可知A′、B′分别在x的负半轴和y的正半轴上，而A′的横坐标的绝对值就是A的纵坐标，B′的纵坐标就是B的横坐标．由此可得出A′、B′的坐标．
（2）根据（1）得出的A′、B′的坐标，以及已知的B的坐标，可用待定系数法求出二次函数的解析式．
（3）根据（2）的函数式即可求出其顶点坐标，然后用待定系数法求出AA′的解析式，然后判断二次函数的顶点是否在AA′所在的直线上即可．
点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的方法．根据旋转的性质得出A′、B′的坐标是解题的基础．