Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：BP=DC+CP；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在BP上截取PM=PC，连接DM，求出DM=DC，求出BM=DM，即可得出答案．
（2）在BD上截取DM=DC，连接PM，证△DCP≌△DMP，推出CP=PM，求出BM=PM，即可得出答案．

解答：（1）证明：在BP上截取PM=PC，连接DM，
∵DP⊥BC，
∴DM=DC，
∴∠C=∠DMC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠DMP，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=∠C，
∴∠DMC=2∠DBC，
∵∠DMC=∠DBC+∠BDM，
∴∠DBC=∠MDB，
∴DM=BM=DC，
∴BP=BM+PM=DC+CP．

（2）解：BD=CD+CP，
理由是：在BD上截取DM=DC，连接PM，
∵DP平分∠BDC，
∴∠MDP=∠CDP，
在△MDP和△CDP中

DM=DC ∠MDP=∠CDP DP=DP

∴△MDP≌△CDP（SAS），
∴CP=MP，∠C=∠DMP，
∵∠C=∠ABC=2∠DBC，
∴∠DMP=2∠DBC=∠DBC+∠MPB，
∴∠DBC=∠MPB，
∴BM=MP=CP，
∴BD=CD+CP．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．