Question

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的半径；
（3）求图中阴影的面积．

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）直接根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC=60°；
（2）连结OB、OC，作OH⊥BC于H，如图，由于∠ACB=∠BAC=60°，则可判断△ABC为等边三角形，利用圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°，所以BC=AC=2

3

，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠OBC=30°，BH=

1

2

BC=

3

，然后在△OBH中利用含30度的直角三角形的三边的关系可计算出OH=

3

3

BH=1，OB=2OH=2；
（3）根据扇形面积公式和利用S_{阴影的面积}=S_扇形BOC-S_△BOC进行计算即可．

解答：解：（1）∵∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°；
（2）连结OB、OC，作OH⊥BC于H，如图，
∵∠ACB=60°，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BOC=2∠BAC=120°，
∴BC=AC=2

3

，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，BH=

1

2

BC=

3

，
在△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=

3

3

BH=

3

3

×

3

=1，
OB=2OH=2，
即⊙O的半径为2；
（3）S_{阴影的面积}=S_扇形BOC-S_△BOC
=

120•π•22

360

-

1

2

•2

3

•1
=（

4

3

π-

3

）cm²．

点评：本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=

360

n

πR²或S_扇形=

1

2

lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．也考查了等边三角形的判定与性质．