Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）若方程有两个不等实根x₁，x₂，且满足，求k的值．

Answer 1

解：（1）△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∵（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何实数，方程总有实数根；

（2）根据题意得x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k，
∴x₁²-（k+2）x₁+2k=0，
∴x₁²=（k+2）x₁-2k，
∵，
∴（k+2）x₁-2k-2x₁+kx₂=4，
∴kx₁-2k+kx₂=4，
∴k（x₁+x₂）-2k=4，
∴k²=4，
∴k₁=-2，k₂=2．
分析：（1）先计算出）△=（k+2）²-8k=（k-2）²，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）利用方程解的意义得到x₁²-（k+2）x₁+2k=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k，由得到k²=4，然后解方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的根的判别式．