Question

18．设x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．
（1）x₁²+x₂²；
（2）（x₁-x₂）²；
（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{-\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
（1）根据完全平方公式进行变形，最后整体代入求出即可；
（2）根据完全平方公式进行变形，最后整体代入求出即可；
（3）根据多项式乘以多项式方程进行计算，最后整体代入求出即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
（1）x₁²+x₂²；
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²-2×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$；

（2）（x₁-x₂）²；
=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$；

（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）．
=x₁x₂+1+1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=-$\frac{1}{2}$+2+$\frac{1}{-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系．x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反过来也成立，即$\frac{b}{a}$=-（x₁+x₂），$\frac{c}{a}$=x₁x₂，用了整体代入思想．