Question

已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，在AB上有一点M，且CM=CD．
（1）请你用尺规作出点M的位置，
（2）若AF=12，DF=4，求AM的长，
（3）试说明∠CDA与∠CMA的关系．

Answer 1

分析：（1）以点C为圆心，以CD长为半径画弧，与AB的交点即为点M；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=CF，再利用“HL”证明△CDF和△CEM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=ME，然后分点M在点E的左边与右边两种情况讨论求解；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CME，然后分两种情况讨论解答．

解答：解：（1）点M的位置如图所示；

（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△CDF和△CEM中，

CD=CM CE=CF

，
∴△CDF≌△CEM（HL），
∴DF=ME=4，
点M在点E的左边时，AM=AF-ME=12-4=8，
点M在点E的右边时，AM=AE+ME=12+4=16，
综上所述，AM的长为8或16；

（3）∵△CDF≌△CEM，
∴∠CDF=∠CME，
点M在点E的左边时，∠CDA=∠CMA，
点M在点E的右边时，∠CDA+∠CMA=180°，
综上所述，∠CDA与∠CMA相等或互补．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．