Question

在半径为1的⊙O中，两条弦AB、AC的长分别为

2

，

3

，则由两条弦AB与AC所夹的锐角的度数为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,特殊角的三角函数值

专题：开放型

分析：径为1，弦AB、AC分别是

2

、

3

，作OM⊥AB，ON⊥AC；利用余弦函数，可求出∠OAM=45°，∠OAN=30°；AC的位置情况有两种，如图所示；故∠BAC的度数为45°+30°或45°-30°．问题可求．

解答：解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM=

1

2

，AN=

1

2

，
∵弦AB、AC分别是

2

、

3

，∴AM=

2

2

，AN=

3

2

；
∵半径为1∴OA=1；
∵

AM

OA

=

2

2

∴∠OAM=45°；同理，∵

AN

OA

=

3

2

，∴∠OAN=30°；
当OA在AB和AC之间时，如图1，
∴∠BAC=∠OAM+∠OAN=45°+30°=75°；
当B、C在OA的同一侧时，如图2，
∠BAC=∠OAM-∠OAN=45°-30°=15°．
∴∠BAC=75°或15°．
故答案是：75°或15°．

点评：本题综合性强，关键是画出图形，作好辅助线，利用垂径定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度数．