【题目】如图,抛物线C1:y=x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点,将C1向右平移得到C2,C2与x轴交于B、C两点.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点D是抛物线C2在x轴上方的图象上一点,求S△ABD的最大值.
(3)直线l过点A,且垂直于x轴,直线l沿x轴正方向向右平移的过程中,交C1于点E交C2于点F,当线段EF=5时,求点E的坐标.
【答案】(1)、y=﹣x2+8x﹣15;(2)、1;(3)、(,)或(,﹣)
【解析】试题分析:(1)、先依据配方法求得抛物线C1的顶点坐标,然后令y=0,求得点A、B的坐标,从而可判断出C1平移的方向和距离,于是得到抛物线C2的顶点坐标,从而得到C2的解析式;(2)、根据函数图象可知,当点D为C2的顶点时,△ABD的面积最大;(3)、设点E的坐标为(x,﹣x2+4x﹣3),则点F的坐标为(x,﹣x2+8x﹣15),然后可求得EF长度的解析式,最后根据EF=5,可列出关于x的方程,从而可求得x的值,于是的得到点E的坐标.
试题解析:(1)、∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,∴抛物线C1的顶点坐标为(2,1).
令y=0,得﹣(x﹣2)2+1=0,解得:x1=1,x2=3.∵C2经过B,∴C1向右平移了2个单位长度.
∵将抛物线向右平移两个单位时,抛物线C2的顶点坐标为(4,1),
∴C2的解析式为y2=﹣(x﹣4)2+1,即y=﹣x2+8x﹣15.
(2)、根据函数图象可知,当点D为C2的顶点时,纵坐标最大,即D(4,1)时,△ABD的面积最大
S△ABD=AB|yD|=×2×1=1.
(3)、设点E的坐标为(x,﹣x2+4x﹣3),则点F的坐标为(x,﹣x2+8x﹣15).
EF=|(﹣x2+4x﹣3)﹣(﹣x2+8x﹣15)|=|﹣4x+12|.∵EF=5,∴﹣4x+12=5或﹣4x+12=﹣5.
解得:x=或x=.
∴点E的坐标为(,)或(,﹣)时,EF=5.
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【题目】小红和小明在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点E,探索∠E与∠A,∠C的数量关系.
(1)发现:在图1中,小红和小明都发现:∠AEC=∠A+∠C; 小红是这样证明的:如图7过点E作EQ∥AB.
∴∠AEQ=∠A()
∵EQ∥AB,AB∥CD.
∴EQ∥CD()
∴∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C 即∠AEC=∠A+∠C.
小明是这样证明的:如图7过点E作EQ∥AB∥CD.
∴∠AEQ=∠A,∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
请在上面证明过程的横线上,填写依据:
两人的证明过程中,完全正确的是 .
(2)尝试: ①在图2中,若∠A=110°,∠C=130°,则∠E的度数为;
②在图3中,若∠A=20°,∠C=50°,则∠E的度数为 .
(3)探索: 装置图4中,探索∠E与∠A,∠C的数量关系,并说明理由.
(4)猜想: 如图5,∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系?(直接写出结论)
(5)如图6,你可以得到什么结论?(直接写出结论)
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【题目】如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.
(1)求∠E的度数.
(2)求证:M是BE的中点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上,已知∠OBA=90°,OB=3,sin∠AOB=.反比例函数y=(x>0)的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点C(m,2)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,则在x轴上是否存在点P,使得PA+PC最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某体育用品商店为了解5月份的销售情况,对本月各类商品的销售情况进行调查,并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图
(1)请根据图中提供的信息,将条形图补充完整;
(2)该商店准备按5月份球类商品销量的数量购进球类商品,含篮球、足球、排球三种球,预计恰好用完进货款共3600元,设购进篮球x个,足球y个,三种球的进价和售价如表:
类别 | 篮球 | 足球 | 排球 |
进价(单位:元/个) | 50 | 30 | 20 |
预售价(单位:元/个) | 70 | 45 | 25 |
求出y与x之间的函数关系式;
(3)在(2)中的进价和售价的条件下,据实际情况,预计足球销售超过60个后,这种球就会产生滞销
①假设所购进篮球、足球、排球能全部售出,求出预估利润P(元)与x(个)的函数关系式;
②求出预估利润的最大值,并写出此时购进三种球各多少个.
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【题目】中共十九大召开期间,十九大代表纷纷利用休息时间来到北京展览馆,参观“砥砺奋进的五年”大型成就展,据统计,9月下旬开幕至10月22日,展览累计参观人数已经超过78万,请将780000用科学记数法表示为( )
A. 78×104 B. 7.8×105 C. 7.8×106 D. 0.78×106
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【题目】如图,等边△ABC和等边△ECD的边长相等,BC与CD两边在同一直线上,请根据如下要求,使用无刻度的直尺,通过连线的方式画图.
(1)在图1中画出一个直角三角形.(2)在图2中过点C作BD的垂线.
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