Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，点P在线段AC上，过点P作PE⊥AB，PD∥AB交BC于D，过点D作DF⊥AB于点F．设PE的长为x，PD的长为y，已知y是x的函数，其图象经过点（，15）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求线段AC的长；
（3）当x为何值时，矩形PEFD的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵cosA=，
∴sinA=，
∵Rt△APE中，sinA=，
∴AP=PE=，
设AC长为z，则CP=AC-AP=z-，
∵PD∥AB，则∠DPC=∠A，
∴Rt△PCD中，cos∠DPC=cosA===，
则=，
∵其图象经过点（，15）
∴4×=z-，
解得z=20
∴=20-，
即y=25-；

（2）根据上题可得AC=20；

（3）S_矩形=xy=x（25-）=-x²+25x=-（x²-12x+36-36）=-（x-6）²+75，
∴当x=6时，矩形PEFD的面积最大，最大值为75．
分析：（1）利用cosA=表示出sinA，然后在直角三角形APE和直角三角形PCD中分别利用合适的边角关系表示出来，然后将点（，15）代入即可求得函数解析式；
（2）将点（，15）的坐标代入求得的函数解析式即可求得AC的长；
（3）利用矩形的面积表示出来，然后利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值及解直角三角形的知识，是一道综合性较强的题目．