Question

如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=（x＜0）的图象于点D，且OD∥AB，
（1）求k的值；
（2）连OP、AD，求证：四边形APOD是菱形．

Answer 1

（1）解：∵∠AOB=90°，P为AB中点，
∴AP=OP=PB，
∵PC⊥AO
∴AC=OC，
∵DO∥AB，
∴∠DOA=∠OAB，
∴△ACP≌△OCD
∴DC=CP，
令一次函数y=-x-2中的y=0，得到x=-6，令x=0，得到y=-2，
即B点坐标（0，-2），A点坐标（-6，0），即OA=6，OB=2，
易知tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，
∴DC=1，
所以点D的坐标（-3，1），
代入反比例解析式得k=-3；

（2）证明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，
又AP∥DO，
∴四边形APOD为平行四边形，
又AP=PO，
∴四边形APOD为菱形．
分析：（1）由∠AOB=90°，得到三角形AOB为直角三角形，又P为斜边AB的一半，得到AP与PO相等，由PC与AC垂直，根据“三线合一”得到C为AO中点，又根据DO与AB平行，得到一对内错角相等，再加上一对直角相等，利用“ASA”得到三角形DCO与三角形APC全等，从而得到DC与CP相等，然后令直线AB解析式得x=0和y=0分别求出对应的y和x的值，确定出A与B的坐标，进而得到OA与OB的长，从而求出DC与OC的长，写出点D的坐标，把D的坐标代入到反比例解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）中证出的三角形DCO与三角形APC全等，得到AC与OC相等，DC与CP相等，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到APOD为平行四边形，再由（1）得到的AP=OP，根据邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及菱形的判定，是一道反比例的综合题．要求学生掌握平行线的性质，直角三角形、等腰三角形的性质及反比例函数的图象与性质，会利用待定系数法求函数的解析式，熟练运用所学知识，借助图形选择合适的方法，培养了学生分析问题，解决问题的能力．