Question

5．如图，AB是半圆O的直径，过半圆O上一点C的切线与过A，B两点的两条直线分别垂直相交于点D，E，若点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，求证：四边形ABED是矩形．

Answer 1

分析 连接OC，由DE是⊙O的切线，得到OC⊥DE，推出AD∥OC∥BE，根据已知条件得到OC⊥AB，推出∠D=∠E=∠DAB=90°，于是得到结论．

解答 证明：连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴AD∥OC∥BE，
∵点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，AB是半圆O的直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴OC⊥AB，
∴AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠D=∠E=∠DAB=90°，
∴四边形ABED是矩形．

点评 本题考查了圆周角，弧，弦的关系，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．