Question

13．如图，在直角坐标系中，一次函数y=-x+b分别交x轴，y轴于A，B两点，与双曲线y=$\frac{3}{x}$交于点C（1，m）．
（1）求m的值和一次函数解析式；
（2）联结OC，求∠OCA的正切值；
（3）在直线上找一点P，如果△OBC与△OAP相似，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，作OD⊥AB于D，连接OC．在Rt△ODC中，根据tan∠OCA=$\frac{OD}{CD}$，求出OD，CD即可解决问题．
（3）如图2中，分两种情形①当$\frac{OA}{BO}$=$\frac{A{P}_{1}}{CB}$时，△OAP₁∽△OBC，②当$\frac{OA}{BC}$=$\frac{A{P}_{2}}{OB}$时，△OAP₂∽△CBO，分别列出方程求出AP即可解决问题．

解答 解：（1）∵点C（1，m）在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴m=$\frac{3}{1}$=3，
把点C（1，3）代入y=-x+b得到b=4，
∴m=3，一次函数的解析式为y=-x+4．

（2）如图1中，作OD⊥AB于D，连接OC．

∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥AB，
∴DB=DA=OD=2$\sqrt{2}$，
∵C（1，3），
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴CD=BD-BC=$\sqrt{2}$，
∴tan∠OCA=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2．

（3）如图2中，

∵∠OBC=∠OAB=45°，
∴当$\frac{OA}{BO}$=$\frac{A{P}_{1}}{CB}$时，△OAP₁∽△OBC，
∴$\frac{4}{4}$=$\frac{A{P}_{1}}{\sqrt{2}}$，
∴AP₁=$\sqrt{2}$，
∴P₁（3，1）．
当$\frac{OA}{BC}$=$\frac{A{P}_{2}}{OB}$时，△OAP₂∽△CBO，
∴$\frac{4}{\sqrt{2}}$=$\frac{A{P}_{2}}{4}$，
∴AP₂=8$\sqrt{2}$，
∴P₂（-4，8），
综上所述，当△OBC与△OAP相似时，P点的坐标为（3，1）或（-4，8）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．