Question

18．已知$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，则代数$\frac{x+2+\sqrt{4x+{x}^{2}}}{x+2-\sqrt{4x+{x}^{2}}}$的值为a²．

Answer 1

分析 先变形已知条件得到x+2=a+$\frac{1}{a}$，再利用分母有理化把代数式变形后利用整体代入的方法计算，然后化简即可．

解答 解：x=a+$\frac{1}{a}$-2，
∴x+2=a+$\frac{1}{a}$，
∴原式=$\frac{（x+2）^{2}+2（x+2）\sqrt{4x+{x}^{2}}+4x+{x}^{2}}{（x+2）^{2}-（4x+{x}^{2}）}$
=$\frac{（a+\frac{1}{a}）^{2}+2（a+\frac{1}{a}）\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4}}{4}$+$\frac{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4}{4}$
=$\frac{4{a}^{2}}{4}$
=a²．
故答案为a²．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．