Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB：y=x+12与直线CD：y=kx+10k交于点E，且E点的纵坐标为-2，
（1）求直线CD的解析式；
（2）动点P从B出发以每秒个单位的速度沿射线BA运动，过点P作PQ∥x轴交直线CD于Q，若点P的运动时间为t秒，PQ的长度为y，求y与t的函数关系式（t＞0）；
（3）在（2）的条件下，求t为何值时，△PQO的外接圆与坐标轴相切．

Answer 1

解：（1）∵E在y=x+12上，且E点的纵坐标为-2，
∴x+12=-2，
解得：x=-14，
∴E（-14，-2），
∵E在y=kx+10k上，
∴-14k+10k=-2
解得：k=，
故直线CD的解析为：y=x+5；

（2）∵y=x+12交x、y轴于点B、A，
∴B（-12，0），A（0，12），
∵y=x+5与x、y轴交于点D、C，
∴D（-10，0），C（0，5），
在Rt△AOB中：AB==12，
在Rt△DCO中，CD==5，
过P作PF⊥OB，过Q作QG⊥OD，
∵BP=t，且∠ABO=45°，
∴PF=BP•sin45°=t×=t，
∴QG=PF=t，
∵P在y=x+12上，
∴P（t-12，t）
∵Q在y=x+5上，
∴Q（2t-10，t），
∴y=2t-10-（t-12）=t+2，
∴y与t的函数关系式为：y=t+2；

（3）分两种情况：
①∵与x轴相切，
∴OG为直径
∴PH=QH
∴PQ=t+2
PH=
∵PH∥BO
∴△APH∽△ABO
∴
t=
②过PQ中点G作GH⊥OD于D，
∵HO⊥AO
∴H为圆心，当H在x轴负半轴
∴GQ=PQ=t+1
∵△CQF∽△CDO
∴QF=10-2t
∴PF=12-t
∴FO=GH=t
在△GQH中：
t²+（t+1）²=（11-t）²，
解得：t=30（舍），t=4．
同理当H在x轴正半轴
当t=解得：t=30，t=4（舍）．
综上：当t=30，t=或t=4时，△PQO的外接圆与坐标轴相切．
分析：（1）将E点的纵坐标-2代入y=x+12，即可求出E点的坐标，再将E点的坐标代入y=kx+10k，即可求出直线CD的解析式；
（2）先根据坐标轴上点的特点得到A、B、C、D的坐标，由勾股定理得到AB，CD的长，过P作PF⊥OB，过Q作QG⊥OD，根据三角函数的知识得到QG=PF=t，再根据两点间的距离公式可得
y与t的函数关系式（t＞0）；
（3）分两种情况：①∵与x轴相切；②过PQ中点G作GH⊥OD于D，以H为圆心，当H在x轴负半轴；当H在x轴正半轴讨论求解即可．
点评：本题主要考查了待定系数法，勾股定理，三角函数以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据与x轴、y轴相切进行分类求解．