Question

4．如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=8．将△AOC沿AC对折，使点O落在点E处，AE交BC于N．
（1）请用直尺和圆规作出折叠后的△ACE；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△CEN≌△ABN；
（3）N点的坐标为（$\frac{25}{4}$，6）．

Answer 1

分析 （1）过O作AC的垂线，截取得到点E，连接CE，AE，交BC于点N，如图所示；
（2）根据矩形OABC，得到对边相等，四个角为直角，再由折叠的性质得到△AOC≌△AEC，利用全等三角形的性质及等量代换得到EC=BA，再由两对角相等，利用AAS即可得证；
（3）由△CEN≌△ABN，得到CN=AN，设CN=AN=x，由BC-CN表示出BN，在直角三角形ABN中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CN的长，即可确定出N的坐标．

解答 解：（1）如图所示，△ACE为所求的三角形；
（2）∵矩形OABC，△AOC沿AC对折得到△AEC，即△AOC≌△AEC，
∴OC=AB=CE=6，BC=OA=AE=8，∠AOC=∠B=∠AEC=90°，
在△CEN和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CBA=90°}\\{∠ENC=∠BNA}\\{EC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△ABN（AAS）；
（3）∵△CEN≌△ABN，
∴CN=AN，
设CN=AN=x，则BN=BC-CN=8-x，
在Rt△ABN中，根据勾股定理得：AN²=AB²+BN²，
即x²=6²+（8-x）²，
整理得：x²=36+64-16x+x²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴CN=$\frac{25}{4}$，
则N的坐标为（$\frac{25}{4}$，6）．
故答案为：（$\frac{25}{4}$，6）

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．