Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于点A′，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是______．

Answer 1

如图，作FS⊥CD于点S点，
由翻折可知：△AFE≌△FA′E，
∴FA=FA′，
∵四边形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS，
又正方形是以O为对称中心的中心对称图形，
∴AF=CG，FO=OG=

1

2

FG，
设AF=A′F=DS=CG=x，
则GS=4-2x，FO=FA′+OA′=1+x，FG=2（1+x）；
在Rt△FSG中，根据勾股定理得FG²=GS²+FS²，
即[2（1+x）]²=（4-2x）²+4²，
解得x=

7

6

，
∴A′G=FG-FA′=2（1+x）-x=

19

6

．
故答案为：

19

6