Question

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是

 

①∠1=∠A；②

CD

AD

=

DB

CD

；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=BC•CD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：求出∠2+∠1=∠2+∠A=90°，即可判断①；证△ADC∽△CDB，推出∠A=∠1，即可求出∠ACB=90°，即可判断②，根据已知推出∠2=∠B，不能推出∠1+∠2=90°，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断④，根据已知得出比例式，即可判断⑤．

解答：解：①∠1=∠A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∵∠1=∠A，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
②正确，
理由是：∵

CD

AD

=

DB

CD

，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠1，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
③错误，
理由是：∵∠BDC=90°，
∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，不能推出∠1+∠2=90°，∴③错误；
④正确；
∵BC：AC：AB=3：4：5，
∴设BC=3k，AC=4k，AB=5k，
则BC²+AC²=25k²，AB²=25k²，
即BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，即④正确；
⑤正确；
∵AC•BD=BC•CD，
∴

AC

BC

=

CD

DB

，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
无法得到△ACB是直角三角形，∴⑤错误；
正确的个数是3个．
故答案为：3个．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，有一定的难度．