Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F．
（1）求DC的长和旋转的角度n；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出∠B=60°，再根据旋转的性质得到DC=BD，然后根据等边三角形的判定得到△BCD是等边三角形，从而可得到n=∠BCD=60°；
（2）先求出DF⊥AC，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长，根据勾股定理求出AC的长度，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出FC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可得解．

解答：解：（1）根据旋转的性质可得DC=CB=2，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴旋转的角度n=∠BCD=60°；

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AD=4-2=2，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA=30°，
又∵∠EDC=∠B=60°，
∴∠CFD=180°-30°-60°=90°，
∴DF⊥AC，
∵BC=2，AB=4，
∴AC=

42-22

=2

3

，
∴AF=FC=

1

2

AC=

3

，
∴DF=1，
阴影部分的面积=

1

2

AF•DF=

1

2

3

．

点评：本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积公式，旋转变换的性质，综合题，但难度不大，稍微细心便不难解决．