Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E、F同时从点C出发，以

1

2

cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点E到达点 A时，两点同时停止运动，设运动时间为ts．过点F作BC的垂线l交AB于点D，点G与点E关于直线l对称．

（1）当t=

 

s时，点G在∠ABC的平分线上；
（2）当t=

 

s时，点G在AB边上；
（3）设△DFG与△DFB重合部分的面积为Scm²，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点G做GH⊥BD，垂足为H，GM⊥FB，垂足为M，点E、F同时从点C出发，所以EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，且DG也是△BDF的角平分线，由△BDF∽△ABC得：

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，可求得DL、BM的长度，由DL=DH，BH=BM，构造关于t的方程可以求得答案．
（2）点G在AB边上时，过点G作GH⊥BC，垂足为H，由（1）中的数值，结合△BGH∽△BAC，构造出关于t的方程，可以得到答案．
（3））由DF∥AC得到△ABC∽△DBF，∴

DF

AC

=

BF

BC

，即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，得到DF=

3

8

(8-t)，分两种情况讨论：
①当0＜t≤

12

5

时，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t；
②当

12

5

＜t≤6时，设FG交AB于点M，过点M作MH⊥BC于H，设FH=MH=a，求得BH，解出a与t的关系，继而求得S与t的关系．

解答：解：（1）

8

5

过点G做GH⊥BD，垂足为H，GM⊥FB，
垂足为M，点E、F同时从点C出发，所以四边形ECFL、四边形LFGM都是正方形，
∴EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，
又∵DG也是△BDF的角平分线，
∴DL=DH，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△ABC
∴

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，
∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，
又∵DL=DH=3-

3

8

t-

1

2

t=3-

7

8

t，
BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，
∴5-

5

8

t=3-

7

8

t+4-t，解得：t=

8

5

．


（2）

12

5

点G在AB边上时，过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∵GH∥AC，
所以△BGH∽△BAC，
∴

BH

BC

=

GH

AC

，
即：

4-t

4

=

1 2 t

3

，
解得：t=

12

5

．


（3）∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBF，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，
解得DF=

3

8

(8-t)
①当0＜t≤

12

5

时，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t．
②当

12

5

＜t≤6时，设FG交AB于点M，过点M作MH⊥BC于H，设FH=MH=a，
则BH=

4

3

a，
∴

1

2

t+a+

4

3

a=4，
解得a=

3

14

(8-t)，
S=S△DFM=

1

2

DF•FH=

1

2

×

3

8

(8-t)×

3

14

(8-t)=

9

224

(8-t)2．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质的综合应用，学会分类讨论的思想和用方程思想解几何题是解题的关键．