Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中线，CG平分∠ACB交BE于点G，F为AB边上一点，且∠ACF=∠CBG
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）连接AG，求证：AG=CF；
（3）试问CF与EG有何关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质和已知条件得出∠BCG=∠CAB=45°，由ASA即可证明△ACF≌△BCG；                   
（2）由△ACF≌△CBG，推出CF=BG，由△ACG≌△BCG，推出AG=BG即可解决问题；
（3）作AD⊥AB交BE的延长线于D．证出CH∥AD，得出∠D=∠EGC，由SAS证明△AED≌△CEG，得出DE=EG，即可得出即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=45°=∠A，
∴∠BCG=∠CAB=45°
在△ACF和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBG（ASA），
                
（2）证明：∵△ACF≌△CBG，
∴CF=BG，
在△ACG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACG=∠BCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴AG=CF．

（3）解：结论：CF=2EG，CF⊥EG．
理由：作AD⊥AB交BE的延长线于D．
由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA
∵AD⊥AB，
∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，
∴∠GAD=∠D，
∴GA=GD=GB=CF．                                 
∵AD⊥AB，CH⊥AB
∴CH∥AD，
∴∠D=∠EGC，
∵E为AC中点，
∴AE=EC，
在△AED和△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EG}\\{∠AED=∠CEG}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEG（SAS），
∴DE=EG，
∴DG=2DE，
∴CF=2DE．
∵△ACF≌△CBG，
∴∠ACF=∠CBG，
∵∠CBG+∠CEB=90°，
∴∠ACF+∠CEB=90°，
∴∠COE=90°，
∴CF⊥EG，
∴CF=2EG，CF⊥EG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．