Question

8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，E是BC边上任意一点，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD．
（2）若AE是BC边上的中线，且AC=12cm，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等求出∠BCD=∠CAE，再求出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，再利用全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再根据线段中点的定义解答．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠CAE，
∵∠ACB=90°，∠CAB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAE}\\{∠ACE=∠CBD=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE=CD；

（2）解：∵△ACE≌△CBD，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，且AC=12cm，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6cm，
∴BD=6cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．