Question

17．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC上一动点，连接BD，以BD为一边作△BDE，且DB=DE．
（1）如图1，当点E在BC上时，过点E作EP⊥AC，垂足为P，若∠ABD=∠PDE，则AD与PE是否相等？为什么？
（2）当点E位于图2所示位置时，连接EC，过点E向线段AC所在直线作垂线，垂足为G，若AC=AB，∠BDE=90°，则GE与CG有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：AD=PE．欲证明AD=PE，只要证明△EPD≌△DAB即可；
（2）首先证明△EDG≌△DBA，推出DG=AB，AD=GE，由AB=AC，推出DG=AC，推出AD=AC-DC=DG-DC=CG，可得GE=CG；

解答 解：（1）结论：AD=PE．
理由：如图1中，

∵EP⊥AC，
∴∠EPD=∠DAB=90°，
在△EPD和△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDE=∠ABD}\\{∠EPD=∠DAB}\\{ED=DB}\end{array}\right.$，
∴△EPD≌△DAB（AAS），
∴AD=PE．

（2）结论：GE=CG．
理由：如图2中，

∵∠BDE=90°，
∴∠EDG+∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB+∠DBA=90°，
∴∠EDC=∠DBA，
在△EDG和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BAD}\\{∠EDC=∠DBA}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△EDG≌△DBA，
∴DG=AB，AD=GE，
∵AB=AC，
∴DG=AC，
∴AD=AC-DC=DG-DC=CG，
∴GE=CG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．