Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

⑴ 求CD的长及∠1的度数；
⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

30；当时，y的值最大为；

解析试题分析：⑴ 过点A作AH⊥BC于点H ，则AH=AB·=

∴CD=AH= 
∵   ∴∠CAD=30°
∵EF∥AC   ∴∠1=∠CAD=30°      4分
⑵当点G恰好在BC上时，由折叠可知 △FGE≌△FDE  

∴ GE="DE" =x，∠FEG=∠FED=60°，∴∠GEC=60°
因为△CEG是直角三角形， ∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 , ∴x=
① 当时

∴当x=时， =
② 当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x  ∴EC=，NE=2
∴NG=GE－NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG==
 


 
∴当时，= 
综合两种情形：由于＜ ∴ 当时，y的值最大为  9分
(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：
①当AE=BE时,t=9
②当AB=AE时, t=9－2
③当BA=BE时，t=12－
考点：二次函数的综合题
点评：此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的思维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．