Question

已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若使得∠CA′E=90°，则AD的长应为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：设AD=x，由DE∥BC得到∠ADE=∠B=90°，再根据折叠的性质得∠A′DE=∠ADE=90°，∠1=∠A，A′D=AD=x，于是可判断点A′在边BA上，所以BA′=4-2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△CBA′∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．

解答：解：如图，设AD=x，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=90°，
∵△ADE沿DE翻折得到△A′DE，
∴∠A′DE=∠ADE=90°，∠1=∠A，A′D=AD=x，
∴点A′在边BA上，
∴BA′=BA-AA′=4-2x，
∵∠CA′E=90°，
∴∠1+∠2=90°，
而∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠A=∠3，
∴Rt△CBA′∽Rt△ABC，
∴

BA′

BC

=

BC

BA

，即

4-2x

3

=

3

4

，解得x=

7

8

，
即AD的长为

7

8

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的判定与性质．