Question

如图，⊙O中延长半径CO交弦AB于点P，∠OAB=30°，设∠OCB=α，∠COA=β．
（1）当α=40°时，β=______°；
（2）用含α的代数式表示β，则β=______；
（3）当α=30°时，求证：OC=2OP．

Answer 1

解：（1）连接OB，
∵OB=OC=OA，∠OAB=30°，∠OCB=α=40°，
∴∠OBC=∠OCB=α=40°，∠A=∠OBA=30°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°，
∴β=∠COA=360°-∠BOC-∠AOB=140°；
故答案为：140゜；

（2）连接OB，
∵OB=OC=OA，∠OAB=30°，∠OCB=α，
∴∠OBC=∠OCB=α，∠A=∠OBA=30°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2α，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°，
∴β=∠COA=360°-∠BOC-∠AOB=2α+60°；
故答案为：2α+60゜

（3）当α=30°时，β=2α+60゜=120゜，
∴∠OPA=120゜-30゜=90゜，
∵∠A=30゜，
∴OA=2OP，
∵OA=OC，
∴OC=2OP．
分析：（1）首先连接OB，可求得∠OBC与∠OBA的度数，继而求得∠BOC与∠AOB的度数，则可求得β的值；
（2）同理（1），可用含α的代数式表示β；
（3）由（2）可求得β的度数，即可得△AOP是直角三角形，继而可证得OC=2OP．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．