Question

【小题1】如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;
【小题2】如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
【小题3】如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【小题1】证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.  
∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°, AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴AG＝AF, ∠1＝∠2．    
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.
∴EG＝EF．                
∵EG=BE+BG．
∴EF= BE＋FD                   
【小题2】(1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立.       
【小题3】结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．       
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
=∠EAF =∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.
∴EG＝EF      
∵EG=BE－BG   
∴EF=BE－FD．  

解析