Question

如图，以△ABC中AB、AC边分别向外作正方形ADEB、ACHF，连接DC、BF，试猜测：
（1）CD与BF相等吗？请说明理由．
（2）CD⊥BF吗？请说明理由．
（3）利用旋转的观点：在此图中，△ADC可以看作是△______绕旋转中心______点，按______方向旋转______（填旋转角）得到的．

Answer 1

解：（1）DC=BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACHF中，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
在△DAC和△BAF中，
∵，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
∴DC=FB．

（2）证明：在△ADC和△ABF中，
∵，
∴△ADC≌△ABF（SAS），
∴∠ACD=∠BFA，
∠BNC=∠ABN+∠ACN+∠BAC=∠ABN+∠AFB+∠BAC=180°-∠CAF=90°，
∴BF⊥CD．

（3）根据正方形的性质可得：∵∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
在△DAC和△BAF中，
∵，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ABF可看作△ADC绕A点顺时针旋转90°得到．
分析：（1）要求两条线段的长度关系，把两条线段放到两个三角形中，利用三角形的全等求得两条线段相等．
（2）由△ADC≌△ABF得出∠BNC=∠ABN+∠ACN+∠BAC=∠ABN+∠AFB+∠BAC=180°-∠CAF=90°，即可得出答案；
（3）因为AD=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC绕A点顺时针旋转90°得到．
点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质及三角形全等的性质，关键是根据图形中两个三角形的位置关系解题．