Question

如图，⊙O的直径AB=12，

BC

的长为2π，D在OC的延长线上，且CD=OC．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：DB是⊙O的切线．
（参考公式：弧长公式l=

nπr

180

，其中l是弧长，r是半径，n是圆心角度数）

Answer 1

分析：（1）根据弧长公式l=

nπR

180

，得n=

180l

πR

，求得∠BOC的度数，进一步根据圆周角定理进行求解；
（2）要证明DB是⊙O的切线，只需证明∠OBD=90°，根据（1）发现等边三角形OBC，从而根据三角形一边上的中线等于这边的一半，证明即可．

解答：（1）解：设∠BOC=n°．
根据弧长公式，得

nπ×6

180

=2π，
n=60°．
根据圆周角定理，得∠A=

1

2

∠BOC=30°．

（2）证明：连接BC．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形．
∴∠OBC=∠OCB=60°，OC=BC=OB．
∵OC=CD，
∴BC=CD．
∴∠CBD=∠D=

1

2

∠OCB=30°．
∴∠OBD=∠OBC+∠CBD=60°+30°=90°．
∴AB⊥BD．
∴DB是⊙O的切线．

点评：此题综合考查了弧长公式、圆周角定理、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的判定．