Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为A（14，0）、B（14，3）、C（4，3），点P、Q为两动点，同时从原点出发，分别作匀速运动，其中P点沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．且当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）写出点Q分别在OC和CB上时的坐标（用含t 的代数式表示）．
（2）是否存在t的值，使得OPQC为等腰梯形？若存在，求出相应的t 值和P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在t的值，使得PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分？若存在，求出相应的t值和P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵C（4，3），
∴OD=4，CD=3，
OC===5，
①点Q在OC上时，设Q点坐标为（x，y），
则==，
接到的x=t，y=t，
∴点Q的坐标是（t，t）；
②点Q在CB上时，点Q的横坐标是2t-5+4=2t-1，
纵坐标是3，
∴点Q的坐标是（2t-1，3）；

（2）点P到达终点A的时间为：14÷1=14秒，
点Q到达终点B的时间为：（14-4+5）÷2=7.5秒，
∵有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，
∴运动时间t的取值范围是0≤t≤7.5，
设存在t的值，使得OPQC为等腰梯形，
过点Q作QE⊥x轴于点E，则DE=t-4×2=t-8，
CQ=2t-OC=2t-5，
∴t-8=2t-5，
解得t=-3，不符合题意，
∴不存在t的值，使得OPQC为等腰梯形；

（3）梯形OABC的面积=（14-4+14）×3=36，
∵CQ=2t-5，OP=t，
∴梯形OPQC的面积=（2t-5+t）×3=，
∵PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴=×36，
解得t=秒，
∵0＜＜7.5，
∴存在t=，使得PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
此时，点P的坐标是（，0），
点Q的横坐标是2×-1=，纵坐标是3，
∴点Q的坐标是（，3）．
分析：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，根据勾股定理求出OC的长，然后利用相似三角形对应边成比例列式即可求出当点Q在OC上时的坐标；当点Q在CB上时求出CQ的长度，然后根据纵坐标不变写出坐标即可；
（2）先求出时间t的取值范围，再过Q作QE⊥x轴于点E，分别表示出CQ与DE的长度，根据等腰梯形的性质CQ=DE，然后代入进行计算求出t的值，若符合题意则存在，否则不存在；
（3）假设存在，然后根据梯形OABC的面积与梯形OPQC的面积列出算式，解方程得到t的值，如果在范围内，则存在，否则不存在．
点评：本题综合考查了直角梯形，等腰梯形的性质，以及点的坐标，理清点P与点Q的运动过程以及相关的线段的长度的表示是解题的关键．