Question

如图1，已知A （0，a），B（b，0），点P为△ABO的角平分线的交点．

（1）若a、b满足|a+b|+a²-4a+4=0．求A、B的坐标；
（2）连OP，在（1）的条件下，求证：OP+OB=AB；
（3）如图2．PM⊥PA交x轴于M，PN⊥AB于N，试探究：AO-OM与PN之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）∵|a+b|+a²-4a+4=0，
|a+b|+（a-2）²=0，
a+b=0，a-2=0，
a=2，b=-2，
∴A的坐标是（0，2），B的坐标是（-2，0）；

（2）连接AP、BP，在x轴正半轴截取OM=OP，连接PM，
则∠OMP=∠OPM=∠POB，
∵P为△AOB角平分线交点，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°，
∴∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=×45°=22.5°，
在△ABP和△MBP中

∴△ABP≌△MBP（AAS），
∴AB=BM=OB+OP．

（3）AO-OM=2PN，
理由是：作 PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于 F，
则∠AFP=∠MEP=90°，
∵P是△AOB角平分线交点，
∴PF=PE，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°，
∴∠FPE=90°，
∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°=∠FPE，
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM，
即∠APF=∠MPE，
在△APF和△MPE中

∴△APF≌△MPE，
∴AF=EM，
∴AO-OM=（AF+OF）-（EM-OE）
=20E
=2PN，
即AO-OM=2PN．
分析：（1）求出a、b的值，即可得出答案；
（2）连接AP、BP，在x轴正半轴截取OM=OP，连接PM，求出∠OMP=∠OPM=∠POB，∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=22.5°，根据AAS证△ABP≌△MBP，推出AB=BM即可；
（3）作 PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，求出PF=PE，∠APF=∠MPE，根据ASA证△APF≌△MPE，推出AF=EM即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．