Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2

5

，AB=3

5

，BD平分∠ABC，E为BD延长线上一点，且∠E=45°，求AE之长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：过C作CF∥BD，交AB延长线于F，过A作AQ⊥BE于Q，根据勾股定理求出AC，根据角平分线性质求出AD、CD，根据勾股定理求出BD，证△AQD∽△BCD，求出AQ，即可求出答案．

解答：解：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2

5

，AB=3

5

，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=5，
过C作CF∥BD，交AB延长线于F，过A作AQ⊥BE于Q，
则∠1=∠F，∠2=∠3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠F，
∴BC=BF，
∵BD∥CF，
∴

AD

DC

=

AB

BF

=

AB

BC

∴

AD

5-AD

=

3 5

2 5

，
∴AD=3，
∴CD=5-3=2，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BD=

BC2+CD2

=

(2 5 )2+22

=2

6

∵∠ACB=90°，AQ⊥BD，
∴∠AQD=∠DCB，
∵∠ADQ=∠BDC，
∴△ADQ∽△BDC，
∴

AD

BD

=

AQ

BC

，
∴

3

2 6

=

AQ

2 5

，
∴AQ=

30

2

，
∵AQ⊥BE，
∴∠AQE=90°，
∵∠E=45°，
∴∠EAQ=∠E=45°，
∴EQ=AQ=

30

2

，
由勾股定理得：AE=

( 30 2 )2+( 30 2 )2

=

15

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线定义的应用，综合性比较强，有一定的难度．