Question

如图，在圆外切凸六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA．求证：凸六边形ABCDEF是中心对称图形．

Answer 1

解：如图，
∵CD∥AF，AB与AF相交，
∴延长AB、CD后必相交，交点为Q，类似的交点P、S，令X、Y、Z为3个切点，
∵BC∥EF，CD∥FA，
∴∠P=∠QBC，∠Q=∠PAF，
∴△PAF∽△BQC，
同理可得，△PAF∽△BQC∽△EDS∽△PQS，它们的周长依次记为m₁、m₂、m₃、m，
易证m₁+m₂+m₃=（PX+PZ）+（QX+QY）+（SY+SZ）=PQ+QS+SP=m，
此时，1=++=++，则=1-=1-=，
∴AF=CD，
又∵AF∥CD，
∴AD、CF必互相平分，
∴AD、BE、CF三线共点，令该点为O，显然点O是圆心，且是凸六边形ABCDEF的对称中心．
分析：先延长AB、CD后必相交，交点为Q，类似的交点P、S，再根据AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA可得，△PAF∽△BQC∽△EDS∽△PQS，它们的周长依次记为m₁、m₂、m₃、m，再由相似三角形周长的比等于相似比可求出AF=CD，再由平行线的性质可得AD、CF必互相平分且AD、BE、CF三线共点，则其交点必为六边形的对称中心．
点评：本题考查的是正多边形和圆、中心对称图形、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．