【题目】如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).
(1)∠PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示);
(2)当t为何值时,△PBE为等腰三角形?
(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.
【答案】(1)45°,(t,t);(2)t为4秒或()秒;(3)△POE周长是定值,该定值为8.
【解析】试题分析:(1)易证△BAP≌△PQD,从而得到DQ=AP=t,从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标.
(2)由于∠EBP=45°,故图1是以正方形为背景的一个基本图形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底边不定,故分三种情况讨论,借助于三角形全等及勾股定理进行求解,然后结合条件进行取舍,最终确定符合要求的t值.
(3)由(2)已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8,从而解决问题.
试题解析:(1)如图1,由题可得:AP=OQ=1×t=t(秒)
∴AO=PQ.
∵四边形OABC是正方形,∴AO=AB=BC=OC,∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,∴∠BPD=90°,∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,∵∠BAP=∠PQD,∠BPA=∠PDQ,AB=PQ,∴△BAP≌△PQD(AAS),∴AP=QD,BP=PD.∵∠BPD=90°,BP=PD,∴∠PBD=∠PDB=45°.∵AP=t,∴DQ=t,∴点D坐标为(t,t).
故答案为:45°,(t,t).
(2)①若PB=PE,由△PAB≌△DQP得PB=PD,显然PB≠PE,∴这种情况应舍去.
②若EB=EP,则∠PBE=∠BPE=45°,∴∠BEP=90°,∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC.
在△POE和△ECB中,∵∠PEO=∠EBC,∠POE=∠ECB,EP=BE,∴△POE≌△ECB(AAS),∴OE=CB=OC,∴点E与点C重合(EC=0),∴点P与点O重合(PO=0).
∵点B(﹣4,4),∴AO=CO=4.此时t=AP=AO=4.
③若BP=BE,在Rt△BAP和Rt△BCE中,∵BA=BC,BP=BE,∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL),∴AP=CE.
∵AP=t,∴CE=t,∴PO=EO=4﹣t.
∵∠POE=90°,∴PE==.
延长OA到点F,使得AF=CE,连接BF,如图2所示.在△FAB和△ECB中,∵AB=CB,∠BAF=∠BCE=90°,AF=CE,∴△FAB≌△ECB,∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.
∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,∴∠ABP+∠EBC=45°,∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°,∴∠FBP=∠EBP.
在△FBP和△EBP中,
∴△FBP≌△EBP(SAS),∴FP=EP,∴EP=FP=FA+AP=CE+AP,∴EP=t+t=2t,∴=2t.解得:t=,∴当t为4秒或()秒时,△PBE为等腰三角形.
(3)∵EP=CE+AP,∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8,∴△POE周长是定值,该定值为8.
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其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
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A. y=2x-1B. y=2x+2
C. y=2x-2D. y=2x+1
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A. 11℃ B. 17℃ C. 8℃ D. 3℃
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