Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：
①⊙O的半径为 ②OD∥BE ③PB= ④tan∠CEP=
其中正确结论有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作DK⊥BC于K，连接OE．
∵AD、BC是切线，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四边形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切线，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在RT△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，
∴DK= =12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半径为6．故①错误，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正确．
在RT△OBC中，PB= = = ，故③正确，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP= = = ，故④正确，
∴②③④正确，
故选C．

本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、直角三角形斜边上的高的求法等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，熟练掌握切线长定理，属于中考常考题型．作DK⊥BC于K，连接OE，①错误，在RT△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故错误．②正确．可以证明AQ=QE，AO=OB，由此得出结论．③正确．根据PB= 计算即可．④正确．根据tan∠CEP=tan∠CBP= 计算即可．