Question

如图所示，已知抛物线的图象与轴相交于点，点在该抛物线图象上，且以为直径的⊙恰好经过顶点.

（1）求的值;

（2）求点的坐标；

（3）若点的纵坐标为，且点在该抛物线的对称轴上运动，试探索：

①当时，求的取值范围（其中：为△的面积，为△的面积，为四边

形OACB的面积）；

②当取何值时，点在⊙上.（写出的值即可）

Answer 1

解：（1）∵点B（0，1）在的图象上，∴

∴k=1

（2）由（1）知抛物线为：

∴顶点A为（2，0）   …………（4分）

∴OA=2，OB=1

过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2

由已知得∠BAC=90°

∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD

∴Rt△OAB∽Rt△DCA                                

∴(或tan∠OBA= tan∠CAD )

 ∴n=2(m-2)；

又点C（m,n）在上，∴

∴，即

∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；

∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分）

（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）

此时

又点P在函数图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），AP=     

∴=      

∵

∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21.

∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1   ②t=0，1，17.