Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E为CD上一点，且DE=EC=BC．
（1）若∠B=90°，求证：∠AEC=3∠DAE；
（2）若tan∠DAE=，AD=2，AE=5，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：延长AE交BC的延长线于F，连接BE，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
在△ADE和△FCE中，
∵
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
又∵△ABF为直角三角形，
∴BE=EF，
∴∠5=∠2=∠1，
∴∠7=2∠1，
又∵CE=BC，
∴∠5=∠6=∠1，
∴∠AEC=∠6+∠7=3∠1，
即∠AEC=3∠DAE．

（2）解：过D作DH⊥AE于H，
由（1）S_ABCD=S_△ABF=2S_△BEF，
∵在Rt△ADH中，tan∠DAH=，
∴sin∠DAE==，
即=，
∴DH=，
∵tan∠DAE==，
∴AH=，
∴S_△ADE=×AE×DH=×5×=4，
∴S_△ECF=4，
∵AE=5，AH=，
∴HE=5-=，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE=，
即BC=DE=，
∵CF=AD=2，
∴=，
∴S_△BCE=×4=2，
∴S_△EBF=2+4，
∴S_△ABF=2S_△EBF=4+8，
即S_梯形ABCD=4+8．
分析：（1）延长AE交BC的延长线于F，连接BE，证△ADE≌△FCE，推出AE=EF，根据等腰三角形性质求出∠5=∠2=∠1，推出∠7=2∠1，根据等腰三角形性质得出∠5=∠6=∠1，求出∠AEC=∠6+∠7=3∠1即可；
（2）过D作DH⊥AE于H，由（1）S_ABCD=S_△ABF=2S_△BEF，根据tan∠DAH=求出DH=、AH=，求出S_△ADE=S_△ECF=4，由勾股定理求出DE=，求出BC=DE=，根据三角形面积公式求出S_△BCE，求出S_△EBF=2+4，求出S_△ABF=4+8，即可求出梯形面积．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，梯形的面积，三角形的面积，三角形的外角性质，勾股定理解直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．