Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线交AD于N，交BC于M，交AC于O．
（1）求证：△COM∽△ADC；
（2）求线段OM的长度．

Answer 1

分析 （1）首先由矩形的性质和垂直平分线的性质得∠D=∠MOC=90°，∠DAC=∠OCM，得到结论；
（2）由勾股定理可得AC的长，易得OC的长，再由△COM∽△ADC，利用相似三角形的性质可得$\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AD}$，代入得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠MOC=90°，AM=CM，
∴∠MAC=∠MCA，
即∠DAC=∠OCM，
∵∠D=∠MOC=90°，
∴△COM∽△ADC；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8，CD=AD=6，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
∵MN是线段AC的垂直平分线
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵△COM∽△ADC，
∴$\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AD}$，
即：$\frac{OM}{6}$=$\frac{5}{8}$，
∴OM=$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定定理，综合运用相似三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．