Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴=，即=，
解得：DE=．

（3）证明：连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．
点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．