Question

18．如图，P为圆ω外一点，PA，PB为圆ω的两条切线，PCD为圆ω的一条割线，其中C在线段PD上，直线DE⊥PD交直线AB于点E，求证：∠BPE=2∠PDB．

Answer 1

分析 如图，连接Pω交AE于F，连接AC、DF、ωD、ωB、直线Cω交⊙ω于M，交PE于H．首先证明△PFD∽△PCω，推出∠PDF=∠PωC，由∠PFC=∠PDE=90°，推出P、F、D、E四点共圆，推出∠PEF=∠PDF=∠FωO，由∠FOω=∠HOE，推出∠OHE=∠OFω=90°，由∠GHP=∠GBω=90°，∠PGH=∠BGω，推出∠GPH=∠BωG，由∠BωG=2∠PDB，推出∠EPB=2∠PDB．

解答 证明：如图，连接Pω交AE于F，连接AC、DF、ωD、ωB、直线Cω交⊙ω于M，交PE于H．

∵PA、PB是切线，
∴Pω⊥AB，ωB⊥PB，
∵∠BPF=∠BPω，∠PFB=∠PBω，
∴△PFB∽△PBω，
∴PB²=PF•Pω，
∵PB²=PC•PD（切割线定理，可以用相似三角形证明），
∴PF•Pω=PC•PD，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PD}{Pω}$，∵∠FPD=∠ωPC，
∴△PFD∽△PCω，
∴∠PDF=∠PωC，
∵∠PFC=∠PDE=90°，
∴P、F、D、E四点共圆，
∴∠PEF=∠PDF=∠FωO，
∵∠FOω=∠HOE，
∴∠OHE=∠OFω=90°，
∵∠GHP=∠GBω=90°，∠PGH=∠BGω，
∴∠GPH=∠BωG，
∵∠BωG=2∠PDB，
∴∠EPB=2∠PDB．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、切线长定理、四点共圆、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，本题比较难，属于竞赛题目．