Question

10．如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S_△FCA=3.6，其中正确结论是①②③④⑤．

Answer 1

分析 先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=6-x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为$\frac{2}{5}$，可计算S_△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC-BG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6-x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，CG=6-3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴$\frac{EH}{GC}$=$\frac{EF}{EG}$，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为：$\frac{EH}{GC}$=$\frac{2}{5}$，
∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×4×（ $\frac{2}{5}$×3）=$\frac{18}{5}$=3.6，
连接AC，
∵CF∥AG，
∴S_△FCA=S_△FGC=3.6，
所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故答案为：①②③④⑤．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．