Question

16．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=$\sqrt{10}+\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=$\sqrt{10}+\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$，
∴Rt△ABC的面积是：$\frac{AC•BC}{2}$=$\frac{（\sqrt{10}+\sqrt{2}）（\sqrt{10}-\sqrt{2}）}{2}=\frac{10-2}{2}$=4，
即Rt△ABC的面积是4；

（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=$\sqrt{10}+\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$，
∴AB$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{10}-\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
即AB的长是2$\sqrt{6}$；

（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=$\sqrt{10}+\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{6}$，
∴AB边上的高是：$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{（\sqrt{10}+\sqrt{2}）（\sqrt{10}-\sqrt{2}）}{2\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即AB边上的高是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．