Question

有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿AB方向平移（如图2），设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm²．
（1）当x=0时（如图1），S=______；当x=10时，S=______；
（2）当0＜x≤4时（如图2），求S关于x的函数关系式；
（3）当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值（同学可在图3、图4中画草图）．

Answer 1

解：（1）2；2

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S_梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2

（3）①当4＜x＜6时（如图答1）
，
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
则S_△ADG=AD•DG=x²，S_△BEF=（10-x）²，
而S_△ABC=×12×6=36，S_△BEF=（10-x）²，
∴S=36-x²-（10-x）²=-x²+10x-14，
S=-x²+10x-14=-（x-5）²+11，
∴当x=5，（4＜x＜6）时，S_最大值=11．
②当6≤x＜10时（如图答2），

BD=DG=12-x，BE=EF=10-x，S=（12-x+10-x）×2=22-2x．
S随x的增大而减小，所以S≤10．
由①、②可得，当4＜x＜10时，S_最大值=11．
分析：（1）当x=0时，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面积为×2×2=2．
当x=10时，E与B重合，此时重合部分是等腰直角三角形BDG，面积与x=0时相同．
（2）当0＜x≤4时，F在AC上运动（包括与C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均为等腰直角三角形，因此DG=x，EF=x+2，可根据梯形的面积公式求出此时S，x的函数关系式．
（3）当4＜x＜10时，F在BC上运动（与B、C不重合）．要分类讨论：
①当G在AC上，F在BC上运动时，即当4＜x＜6时，重合部分是五边形CGDEF，可用三个等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面积差来求得．
②当G、F同在BC上运动时（包括G、C重合），即当6≤x＜10时，解法同（2）．
根据上述两种情况可得出两个关于S，x的函数关系式，根据函数的性质和各自的自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的x的值．
点评：本题是运动性问题，考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识．