Question

7．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）

Answer 1

分析 先解Rt△ADC，求出CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=280海里，那么渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11$\frac{2}{3}$小时．再解Rt△ADB，求出BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD-CD≈672-210=462海里．设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据追及问题的等量关系列出方程（40-18）x=462-200，解方程求出x=11$\frac{10}{11}$，由于11$\frac{2}{3}$＜11$\frac{10}{11}$，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响．

解答 解：由题意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，
∴CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=280海里．
∴渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11$\frac{2}{3}$小时．
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，
∴BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，
∴BC=BD-CD≈672-210=462海里．
设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据题意得
（40-18）x=462-200，
解得x=11$\frac{10}{11}$，
∵11$\frac{2}{3}$＜11$\frac{10}{11}$，
∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间是解题的关键．