Question

10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，对角线AC=6，BD=8，点E在BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）求△EOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得OB=OD，则OB=OE=OD，根据等腰三角形的性质得∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，然后根据三角形内交和定理计算出∠BED=90°即可；
（2）解：作OF⊥BE于F，如图，由菱形的性质得OA=OC=3，OB=OD=4，则利用面积法计算出OF=$\frac{12}{5}$，再根据勾股定理计算出BF=$\frac{16}{5}$，所以BE=2BF=$\frac{32}{5}$，则CE=$\frac{7}{5}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD，
∵OE=OB，
∴OB=OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∴∠OEB+∠OED=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）解：作OF⊥BE于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，
∵$\frac{1}{2}$OF•BC=$\frac{1}{2}$OB•OC，
∴OF=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OBF中，BF=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴BE=2BF=$\frac{32}{5}$，
∴CE=BE-BC=$\frac{32}{5}$-5=$\frac{7}{5}$，
∴△EOC的面积=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{5}$•$\frac{12}{5}$=$\frac{42}{25}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积等于对角线乘积的一半．