Question

如图，已知抛物线C₁：，把它平移后得抛物线C₂，使C₂经过点A（0，8），且与抛物线C₁交于点B（2，n）．在x轴上有一点P，从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动，设点P移动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线l，分别交抛物线C₁、C₂于E、D，当直线l经过点B前停止运动，以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG．
（1）判断抛物线C₂的顶点是否在x轴上，并说明理由；
（2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？
（3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）抛物线C₂的顶点在x轴上．理由如下：
∵点B（2，n）在抛物线C₁上，
∴×2²=n，
解得n=2，
∴点B的坐标为（2，2），
∵抛物线C₂是抛物线C₁平移得到，
∴设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx+c，
又∵C₂经过点A（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线C₂的解析式为y=x²-4x+8=（x-4）²，
∴抛物线C₂的顶点在x轴上；

（2）时间为t时，点D、E的坐标分别为D（t，t²-4t+8），E（t，t²），
∴DE=t²-4t+8-t²=-4t+8，
∴S=OP•DE=t（-4t+8）=-4t²+8t=-4（t-1）²+4，
∵直线l经过点B前停止运动，
∴0＜t＜2，
∴当t=1时，正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值，最大值为4；

（3）如图，可以判定当点M在y轴左侧时，△MOP不能为等腰三角形，
∴当点M在y轴右侧，且在OP的垂直平分线上时，△MOP为等腰三角形，
此时∵点M是正方形的中心，
∴DE=OP，
即（-4t+8）=t，
解得t=，
∵＜2，
∴符合题意，
故当t=时，△MOP为等腰三角形．
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线C₁，进行计算求出n的值，从而得到点B的坐标，然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状，设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx+c，然后利用待定系数法求解，再根据抛物线的顶点坐标进行判断；
（2）根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断，当正方形的中心在y轴右侧时，△MOP为等腰三角形，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半，然后列式求解即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，需仔细分析并理解方可解决．